Proyecto Final: Elaboración de una Wiki Parte II
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Algunos resultados de investigaciones que dan cuenta de las dificultades encontradas al cambiar las convenciones en la notación, respecto del referente aritmético que traen los estudiantes, y, de manera específica, los relacionados con las interpretaciones que estos hacen de la letra en contextos matemáticos. (Guerrero y Sánchez, 2014, p. 17).
Concepciones del Álgebra
El Álgebra es objeto cada vez más de consideraciones por los investigadores en Didáctica de la Matemática. Según Socas, Camacho, Palarea y Hernández en 1989 (citados por Ortiz, 2002) existen cuatro concepciones del Álgebra, a saber, a) como aritmética generalizada, b) como estudio de ecuaciones, c) desde un punto de vista funcional y d) como aspecto estructural, señalando que no se deben considerar en forma aislada, sino de una manera integral; las mismas se presentan en el Gráfico 1.
(Osorio Osorio, 2016, p. 20).
Molina, M (2012) en su investigación distingue cinco concepciones del álgebra, que describimos brevemente a continuación:
• El Álgebra como Aritmética generalizada y estudio de patrones: Se la concibe como fundamento para la generalización, donde el simbolismo algebraico es fundamental para capturar, revelar y describir los patrones y estructuras, utilizando las letras con el significado de números generalizados.
• El álgebra como estudio de relaciones entre variables: Concibe el álgebra como el estudio de funciones y gráficos (Vergnaud, 1997), centrado en el desarrollo de experiencias con funciones y familias de funciones en situaciones de la vida real. En este caso, las letras representan variables con el significado de cantidades cambiantes.
• El álgebra como herramienta para la Resolución de problemas: Se refiere en especial a aquellos problemas que pueden ser formulados en términos de ecuaciones e inecuaciones, que pueden provenir o no de las matemáticas. En caso, las letras tienen el significado de incógnitas y parámetros. Esta concepción del álgebra es la más próxima a sus orígenes como herramienta para resolver problemas (Kieran, 2007).
• El álgebra como estudio de Estructuras: En esta concepción las letras se utilizan en expresiones algebraicas como un objeto arbitrario en una estructura, no siendo necesaria su vinculación a números o cantidades como referentes (Usiskin, 1988). El álgebra se entiende aquí como el estudio de estructuras por medio de las propiedades que se le atribuyen a las operaciones con números reales y polinomios. Tiene una estrecha conexión con la concepción del álgebra como aritmética generalizada.
• El álgebra como Lenguaje algebraico: Se concibe el álgebra como un medio de expresión de ideas matemáticas, como un sistema de representación. El álgebra dispone de un lenguaje propio estandarizado con un conjunto de símbolos, signos y reglas para su uso. Es un lenguaje compacto e inequívoco aplicable a otras áreas. Se utiliza para representar ideas algebraicas separadas del contexto inicial y concreto del que surgen (Arcavi, 1994).
Variable Algebraica
Sus inicios datan de las antiguas civilizaciones y su construcción no fue inmediata, siendo necesarios largos periodos de tiempo para ser perfeccionado. Muestra de ello, es su proceso de desarrollo en el cual se pueden identificar diferentes crisis y transformaciones que generaron grandes retrocesos y nuevos descubrimientos que de alguna manera han conducido a su fundamentación rigurosa. (Osorio Osorio, 2016, p. 22).
OBJETIVOS A LOGRAR EN SITUACIONES QUE INVOLUCRAN VARIABLES
La mayoría de los estudiantes necesitarán muchas experiencias en interpretación de relaciones entre cantidades en una variedad de contextos problema antes de que puedan trabajar significativamente con variables y expresiones simbólicas. Una comprensión de los significados y de los usos de las variables se desarrolla gradualmente mientras los estudiantes crean y usan expresiones simbólicas y la relacionan con representaciones verbales, tabulares y gráficas.
Procesos de Generalización
Corredor Santos et. al., 2013, igualmente señalan la trascendencia de los procesos de generalización, cuando indican que “es indispensable garantizar dentro del currículo experiencias que promuevan de manera regular y progresiva el desarrollo del proceso de generalización como una actividad propia del pensamiento matemático” (p. 329).
En cuanto al proceso de generalización, el Grupo Azarquiel (1993) plantea que el establecimiento de proposiciones, la resolución de problemas y otras muchas formas de “hacer matemáticas” requieren a menudo procesos de generalización. Lo que proporciona en muchos casos mayor potencia al lenguaje algebraico con respecto al lenguaje natural es, precisamente, la posibilidad de expresar lo general utilizando símbolos. Los símbolos y las reglas usuales para utilizarlos aumentan su funcionalidad, permiten expresar las relaciones con mayor precisión y simplicidad, y mezclar información sobre distintas relaciones. Una de las vías por las que un principiante puede encontrarse con el álgebra, y quizá de las más naturales y constructivas, es precisamente el trabajo con situaciones en las que debe percibir lo general y, sobre todo, expresarlo (Grupo Azarquiel, 1993).
Los procesos de generalización, y sobre todo aquellos que tienen relación con el álgebra, permiten una división en fases que conviene también desde el punto de vista didáctico (Mason y otros, 1985; Grupo Azarquiel, 1993). Como primera aproximación se puede distinguir entre, por una parte, la visión de la regularidad, la configuración definitiva, el proceso, y por otra su expresión. Desde el punto de vista del álgebra, esta expresión debe tender a ser simbólica, y por ello escrita. Por tanto, se considera que el proceso de generalización requiere tres pasos bien diferenciados:
a) la visión de la regularidad, la diferencia y la relación entre las partes.
b) su exposición verbal.
c) su expresión escrita, de la manera más concisa posible. Más allá de la visión y de su expresión, en el proceso de generalización se busca la observación crítica, la cual implica análisis, realizar comparaciones y hacer conjeturas.
d) luego la verbalización de las observaciones de forma que un compañero o compañera entienda la explicación o que pueda llegarse a un consenso en el aula sobre lo que se trata de explicar; y por último la escritura, en donde es central el proceso de simbolización.
Estructura Algebraica
Término Algebraico
Una vez que se haya logrado en el estudiante el aprendizaje respecto a la generalización, lo siguiente es introducir sobre el término algebraico. Debe conocer de primera mano que la generalización sólo se concreta con uno de los elementos principales del término algebraico.
Expresión Algebraica
Sobre una expresión algebraica, que Barnett, 1984 la define como “una forma simbólica en la que intervienen constantes, variables, operaciones matemáticas y símbolos de agrupamiento” (p. 8), el alumno necesita poder comprender que la misma no es ajena o totalmente apartada del término algebraico. El joven estudiante debe poder comprender la expresión algebraica, como mínimo, como una reunión de términos algebraicos.
Lenguaje Algebraico
El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. (Pérez, 2010).
Conclusiones
Las consecuencias para la enseñanza del álgebra y el logro del desarrollo del pensamiento algebraico según las investigaciones sobre aprendizaje del álgebra son:
1. Promover la observación analítica y crítica de generalidades y su verbalización durante el tiempo que sea necesario para luego promover la simbolización de las observaciones.
2. Hacer preguntas abiertas (¿Cuáles?, ¿Cómo?, ¿Por qué?, ¿Cuándo?) para que a través de la discusión los estudiantes puedan identificar las fortalezas y limitaciones de diferentes formas de representación (aritmética, algebraica, gráfica, verbal) y puedan traducir una en otra con fluidez.
3. Identificar y promover el uso de distintas estrategias de generalización desarrolladas por las y los estudiantes, como las de contexto, objeto entero, adivinar y chequear, recursiva.
4. Diseñar actividades de aprendizaje que permita a los estudiantes adquirir el concepto de variable con sus distintos usos, e ir apropiándose de los nuevos significados de los símbolos matemáticos ya utilizados en aritmética y geometría, como el signo igual, los signos de mayor y menor que, los signos de las operaciones, las letras y las fórmulas. Para Ursini y otros (2005) se espera que las y los estudiantes construyan significados, los desarrollen y puedan comunicar sus ideas algebraicas a las demás personas, específicamente que diferencien entre los distintos usos de las variables, pasando entre uno y otro de manera flexible, verbalicen las características de cada uso y usen el lenguaje algebraico para expresarse.
5. Trabajar la resolución de problemas, como una de las formas de desarrollar la simbolización, construir el concepto de incógnita o variable y construir y resolver ecuaciones.
6. Promover el uso de las calculadoras algebraicas para desarrollar el lenguaje algebraico a través de la comunicación de las ideas matemáticas.
En este espacio queremos agregar a la idea que el álgebra va más allá del uso de letras y símbolos; el álgebra ayuda a pensar, entregar significados y orden a los fenómenos del entorno, lo que permite descubrir regularidades y razonar lógicamente sobre estos (Drijvers, Goddijn y Kindt, 2011). Adicionalmente, interactuar con ideas algebraicas permite el uso de representaciones tan variadas como las pictóricas, numéricas, manipulativas, tablas, entre otras.
Referencias
Barnett, R. A. (1984). Álgebra. McGraw-Hill de México, S. A.
Corredor Santos, X., Pineda Ballesteros, M. & Roa Fuentes, S. (2013). Patrones geométricos, numéricos y verbales como iniciadores del proceso de generalización en la educación básica primaria. Revista Científica, 327-330.
https://doi.org/10.14483/issn.2344-8350
Guerrero, F. y Sánchez, N. (2004). Formación de profesores en la transición aritmética al álgebra. En Díaz, Leonora (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (pp. 590-597). México, DF: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
Osorio Osorio, M. (2016). El paso de la aritmética al álgebra. Recuperado el 17 de octubre de 2021 de: https://repositorio.unal.edu.co/handle/unal/59073
Pérez, V. (2010, 5 abril). Lenguaje algebraico | La Guía de Matemática. Lenguaje algebraico. https://matematica.laguia2000.com/general/lenguaje-algebraico
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